康托尔无穷数理论所带来理性的新危机( 三 ) _小知识

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格奥尔格·费迪南德·路德维希·菲利普·康托尔
其实，康托尔也对自己用一一对应导致的结果惊愕不已。他证明了一条直线上的点和一个平面上的点（甚至是n 维空间）之间存在着一一对应。他在1877 年给戴德金的一封信中写道：“我看到了它，却不敢相信它。”然而，他还是相信了，而且在确立无穷集合的相等2 时坚持了他的一一对应原理。
康托尔还定义了无穷集合大小的含义。如果集合A 同集合B 的一部分或子集能建立起一一对应，但集合B 不能同A 或其子集建立起一一对应关系，则集合B 大于集合A 。这个定义仅是为了无穷集合才加以强调的，对有限集合则显而易见。比如说有五颗弹子和七本书，你可以建立起弹子同一部分书的一一对应，但所有的书不能同全体或一部分弹子建立起这种关系。利用他的这种关于集合等或不等的定义，康托尔得出了惊人的结论，即正整数等价于有理数（所有正整数、负整数和分数）集，却小于实数（有理数和无理数）集。
正如采用数字符号5 ， 7 ， 10 等来标识一个有限集中的元素数时很方便一样，康托尔也决定采用符号来标识无穷集合中的元素个数。整数集及可以同它建立起一一对应关系的集合含有同样多的元素数，他用符号 ?0（阿列夫零）来表示这个基数。全体实数的集被证明大于整数集，他就用了一个新符号c 来表示其基数。
进一步，康托尔能够证明对于任意一个给定的集合，总存在一个比它更大的集合。例如，由一个给定集合的所有子集组成的集合大于原集合。我们不追究这个定理的证明，但只要设想一个有限集，就能够看出这个定理是合理的。比如，如果有一个含四个元素的集合，可以构造出四个含有一个元素的不同集合，六个含有两个元素的不同集合，四个含有三个元素的不同集合和一个含有四个元素的集合。要是再加上空集，我们会发现所有子集的数目正好是2^4 ，当然它是大于4 的。特别的是，通过考虑整数集的所有可能的子集，康托尔证明了2^(?0)=c ，这里c 是实数集的基数。
19 世纪70 年代，在康托尔研究无穷集合时，这个理论曾被当作是无足轻重的，他所证明的关于三角级数的定理也非基本性的。可是到1900 年时，他的集合理论已在其他数学领域中得到了广泛的应用，而且他和戴德金已经预见到在建立整数（有限和超限的）理论、分析曲线和维数的概念上，集合论都是有用武之地的，甚至可以成为整个数学的基础。其他一些数学家，如博雷尔和勒贝格在将积分一般化时，也借鉴了康托尔的无穷集合理论。
因此，康托尔本人发现的困难就不是微不足道的事情了。他已指出了存在着越来越大的超限集和与之相应的超限数（transfinite number）。1895 年，康托尔开始研究由所有集合组成的集合，它的基数应该是能存在的最大的数了。然而康托尔已经证明过一已知集合的所有子集构成的集合，其基数大于该已知集合的基数，因此存在着一个比最大的数还要大的超限数。康托尔认定人们同时必须要区分开他所称为相容集合（consistent sets）和不相容集合的概念，并在1899 年就此写信给戴德金，意思是不能谈论由所有集合组成的集合及其基数。
当罗素第一次看到康托尔关于所有集合的集合的结论时，他不以为然。他在1901 年的一篇随笔中写道， “康托尔一定犯了某个微妙的错误，我会在将来的某些工作中对其加以阐明。”他还补充说，一定存在着一个最大的超限集合，因为如果什么都考虑进去了，那么就没有什么可以增加的了。罗素致力于这件事，并给这个当时时髦的问题又加上了他的“悖论” 。对此，我们将马上予以讨论。16 年后，当罗素重印他的随笔《神秘主义与逻辑》（Mysticism and Logic）时，他增加了一条注脚对他的错误表示歉意。